EDO - Redução de Ordem

Considere uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de 2ª ordem  \begin{equation}a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=0.\end{equation} com coeficientes contínuos em algum intervalo $I$ e $a(x)\neq 0$ em $I$. Sabe-se que há duas soluções que são Linearmente Independentes (LI), ou seja, são soluções em que a combinação linear nula $m.y_1+n.y_2=0$ só admite a solução trivial $m=0$ e $n=0$.

Se conhecermos uma das soluções, será possível encontrar a outra solução a partir desta? É sobre isso que vamos falar nesta postagem.

A resposta para a pergunta feita é SIM. É possível encontrar a segunda solução a partir da primeira. Para percebermos isso, primeiro vamos dividir ambos os membros da EDO por $a(x)$ para obtermos $$y''+\dfrac{b(x)}{a(x)}y'+\dfrac{c(x)}{a(x)}y=0.$$ Seja $P(x)=\dfrac{b(x)}{a(x)}$ e $Q(x)=\dfrac{c(x)}{a(x)}$ e a EDO passa a ter a forma $$y''+P(x).y'+Q(x).y=0.$$ Considere que $y_1$ seja uma solução conhecida desta EDO em um intervalo I e que $y_1\neq 0$ em I e a mudança de variável $y=u.y_1$. Observe que $u$ não pode ser constante pois nesse caso a combinação linear nula $m.y_1+n.y=0$ teria uma solução não trivial $m=u$ e $n=-1$. Assim, $u=u(x)$ e depois de encontrar $y'=u'.y_1+u.y_1'$, $y''=u''.y_1+u'.y_1'+u'.y_1'+u.y_1''$ e substituir na EDO original passaremos a ter $$y_1.u''+(2y_1'+Py_1)u'=0$$ Com uma segunda mudança de variável, tomando $w=u'$ a EDO original passa a ter a forma $$y_1.w'+(2y_1'+Py_1)w=0$$ que é uma EDO de 1ª ordem, de onde vem o nome do método: "Redução de Ordem". Se terminarmos de resolver essa EDO encontraremos como a segunda solução pode ser escrita em função da primeira. $$y_2=y_1(x)\int{\frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_1(x)^2}\,dx}$$ Assim, para resolver uma EDO na forma $y''+P(x).y'+Q(x).y=0$ podemos, conhecendo uma das soluções, fazer a caminhada que nos leva a uma EDO de 1ª ordem ou usar a fórmula pronta. Talvez seja interessante que os estudantes resolvam alguns exercícios sem usar a fórmula pronta e para os mais trabalhosos, que usem a fórmula que relacionam as duas soluções.

A seguir há alguns vídeos em que se tem exercícios resolvidos. O livro texto é o

ZILL, Dennis G., CULLEN, R. Matemática Avançada para Engenharia - Vol I. Bookman, 08/2011.

(p.131 Ex.01) $y''-4y'+4y=0$; $y_1=e^{2x}$

O exercício seguinte é resolvido refazendo o caminho que nos leva até a EDO de ordem reduzida. Se você é estudante sugiro que 

1. Primeiro tente resolver o exercício e só depois veja o vídeo para confirmar se acertou ou ver onde errou.
2. Encontre a segunda função também usando a fórmula final que relaciona essas duas funções. Deve encontrar o mesmo que está no vídeo.

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(p.131 Ex.03) $y''+16y=0$, $y_1=cos(4x)$

Vale aqui a mesma observação do exercício anterior.

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(p.131 Ex.12) $4x^2y''+y=0$, $y_1=\sqrt{x}\ln(x)$

Olha, esse é um exercício que eu não quero resolver ele nunca mais (muito demorado por redução de ordem). Ainda bem que está gravado em vídeo. Como sempre, a sugestão é: primeiro tente resolver você, depois vá para o vídeo.

Outra coisa: tente encontrar a segunda solução usando a fórmula. Com certeza o trabalho será menor.

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